关于总滑移边界条件下穿过圆锥的轴对称纳维-斯托克斯流动

对于具有纳维-斯托克斯总滑移边界条件的某类圆锥 $D$ 上的不可压缩纳维-斯托克斯流动，我们证明存在绝对常数 $C_* > 0$，使得当 $$\sup_{x\in D}r|v_{0,\theta}|\leq C_* \quad\text{且}\quad \int_{D} r v_{0,\theta}(x) \mathrm{d} x = 0,$$ 时，存在唯一的全局有界强解且能量有限，其中 $r$ 表示到 $z$ 轴的距离，$v_{0,\theta}$ 表示速度 $\boldsymbol{v}$ 的 azimthal 分量的初始值。与 \cite{LPYZZZ24} 中的先前结论不同，本文无需对 $\boldsymbol{v}_0$ 做任何奇偶性假设。证明的四个关键要素如下：(1) 在球坐标中，我们引入三个新量 \mathcal{K}\buildrel\hbox{def}\over =\frac{\sin\phi}{\rho^2}\partial_\phi\Big(\frac{v_\theta}{\sin\phi}\Big) \,,\quad\quad\mathcal{F}\buildrel\hbox{def}\over =-\partial_\rho\Big(\frac{v_\theta}{\rho}\Big) \,,\quad\quad \mathcal{O}\buildrel\hbox{def}\over =\frac{1}{\rho\sin\phi}\Big(\omega_\theta-\frac{2v_\phi\eta(\rho)}{\rho}\Big) \,, 并为它们推导自闭能量估计，其中 $\eta$ 为一个在原点附近消失、远离原点时等于 1 的截断函数。(2) 提出一个关于压力 $P$ 的边界值问题，并在纳维-斯托克斯总滑移边界条件下建立椭圆估计，以控制边界项。(3) 应用 De Giorgi 迭代方案来建立 $rv_\theta$ 有界性，其在 $D$ 上的积分对所有时间均为零。(4) 为积分在 $D$ 上为零的函数推导新的各向异性 Hardy 不等式。