半线性演化方程的近似解 II：推广及其在 Navier-Stokes 方程中的应用

在我们之前的论文 [12] (Rev. Math. Phys. 16, 383-420 (2004)) 中，概述了一个处理半线性演化方程近似解的通用框架；更确切地说，提出了一种方案，旨在从近似解推断精确解的存在性（局部或全局时间），并估计它们之间的距离。在本文的前半部分，扩展了 \cite{uno} 的抽象框架，使其适用于非线性项包含空间变量导数的演化偏微分方程。在本文的后半部分，将此扩展框架应用于任意维环面 T^d 上的不可压缩 Navier-Stokes 方程。通过这种方式，在 Sobolev 空间 H^n(T^d) 的设置中获得了一系列结果，其中以多种不同方式选择了近似解。通过最简单的选择，我们恢复了任意数据和外力下精确解的局部存在性，以及小数据和外力下的全局存在性。在补充假设外力随时间指数衰减的情况下，推导出了具有小（零均值）数据和外力的精确解遵循相同的衰减规律。任意数据的存在区间、全局存在性所需数据和外力的上界，以及关于精确解指数衰减的所有估计，均以完全定量的方式推导得出（即给出了所有必要常数的数值；这与大多数先前文献不同）。接下来，考虑了 Galerkin 近似解，并推导了它们与精确解之间 H^n 距离的精确且仍为定量的估计；对于小数据和外力，这些估计是全局时间的（如果外力类似地衰减，则上述距离具有随时间指数衰减的特性）。