二维 Navier-Stokes 方程的无限能量解

这些笔记基于作者于 2014 年 2 月在图卢兹大学 (University of Toulouse) 举办的一系列讲座。它们完全致力于二维不可压缩 Navier-Stokes 方程的初值问题及其解的长时间行为，特别是流体占据整个平面 $\mathbb{R}^2$ 且仅假设速度场有界的情况。在此背景下，局部适定性不难建立，而对涡度分布的先验估计表明所有解都是全局的，且随时间最多呈指数增长。此外，正如 S. Zelik 最近所示，局部化能量估计可用于更好地控制速度场的一致局部能量范数。这些笔记旨在以解释性和自包含的方式，呈现 Zelik 论证的简化和优化版本；结合针对有界涡度的 Biot-Savart 定律的新表述，该版本表明速度场的一致范数随时间最多呈线性增长。这些结果不依赖于粘性耗散，因此对于所谓的二维 Euler 方程的"Serfati 解"仍然有效。最后，S. Slijepcevic 和作者最近的一项工作表明，如果速度场和压力在一个空间方向上是周期的，那么在粘性情况下所有解仍然保持一致有界。