三维欧拉方程拉格朗日修正的有限时间爆破

用微分几何的语言，不可压缩无粘欧拉方程可以写成涡量-矢势形式：\begin{align*} \partial_t \omega + {\mathcal L}_u \omega &= 0\\ u &= \delta \tilde \eta^{-1} \Delta^{-1} \omega \end{align*} 其中 $\omega$ 是涡量 $2$-形式，${\mathcal L}_u$ 表示关于速度场 $u$ 的李导数，$\Delta$ 是 Hodge 拉普拉斯算子，$\delta$ 是余微分（散度算子的负值），$\tilde \eta^{-1}$ 是由欧几里得度量 $\eta$ 诱导的从 $2$-形式到 $2$-向量场的典范映射。本文考虑这些欧拉方程在三维空间中的一种推广，其中矢势算子 $\tilde \eta^{-1} \Delta^{-1}$ 被一个更一般的 $-2$ 阶算子 $A$ 所取代；这保留了欧拉方程的拉格朗日结构及其大部分守恒律和局部存在性理论。尽管如此，我们给出了这种算子 $A$ 的三种不同构造，它们允许存在在有限时间内爆破的光滑解，包括 ${\bf R}^3$ 上一个自伴且正定的例子。这表明建立三维欧拉方程全局正则性存在一个障碍，即任何此类方法必须用到那些方程所具有的、而本文所考虑的广义欧拉方程不具备的某种性质。