不可压缩欧拉方程的置换对称解

本文研究不可压缩欧拉方程的置换对称解。我们证明这些解的动力学可以简化为单个涡量分量$\omega_1$上的演化方程，并刻画了置换对称下该涡量分量的相关约束空间。我们还给出了针对置换对称情况的能量等式、Beale-Kato-Majda准则和局部适定性理论的单涡量分量版本。本文的主要动机来自作者最近的工作[13]，该工作证明了一个傅里叶限制欧拉模型方程的光滑解在有限时间内爆破，其中亥姆霍兹投影被替换为对更严格约束空间的投影。该模型方程的爆破解是奇的、置换对称的，并且关于平面$x_1+x_2+x_3=0$镜像对称。利用Elgindi在[5]中引入的爆破解，我们能够证明存在全欧拉方程的$C^{1,\alpha}$解在有限时间内爆破，这些解是奇的、置换对称的，并且关于平面$x_1+x_2+x_3=0$镜像对称。我们还将证明，关于平面$x_1+x_2+x_3=0$奇、置换对称且镜像对称（$\mathcal{G}_\sigma$对称）的无散度向量场，通过旋转给出的坐标变换，等价于关于三个坐标轴均镜像对称且关于水平面旋转$\frac{\pi}{3}$对称（$\mathcal{G}$对称）的无散度向量场。后一个离散对称群允许在柱坐标中进行傅里叶级数展开，进一步揭示了这些对称群的结构，特别是它们与轴对称、无旋流向量场的关系。