无限维涡旋方程的有限时间 blowup

在与 Tai-Peng Tsai 的合作的前期研究中，作者研究了轴对称、无旋涡的 Euler 方程在四维及更高维度中的动力学。该分析的一个结论是，随着维度的增加，动力学变得显著更奇异。特别是，三维中存在的平滑解有限时间 blowup 的阻碍在更高维度 $d\geq 4$ 中并不存在。为了纾解这一结果，我们将考察通过对标量涡旋演化方程在 $d\to +\infty$ 时的形式极限得到的模型方程。该模型表现出一种 Burgers 激波类型的最有限时间 blowup。无限维模型方程的 blowup 结果强有力地暗示了在足够高的维度下，Euler 方程平滑解有限时间 blowup 的机制。也有可能将完整的 Euler 方程视为无限维模型方程的扰动，尽管这种扰动是高度奇异的。