Euler 奇点 I：光滑刚好奇异轴对称 Euler 的边界气涡

我们构造了在周期圆柱中具有旋向的光滑轴对称初始数据，其三维不可压缩 Euler 演化在有限时间内发展出边界奇点。该构造在动态不变的刚好奇异类别中完成 $$\Gamma(r,-z,t)=-\Gamma(r,z,t), \qquad G(r,-z,t)=-G(r,z,t),$$ 其中 $\Gamma=r u^\theta$ 和 $G=\omega^\theta/r$。在侧壁点 $(r,z)=(1,0)$，刚好奇异性给出点态恒等式 $$\partial_t\partial_zG(1,0,t) = \sigma(t)\partial_zG(1,0,t) +2\bigl(\partial_z\Gamma(1,0,t)\bigr)^2, \qquad \partial_t\partial_z\Gamma(1,0,t) = \sigma(t)\partial_z\Gamma(1,0,t),$$ 其中 $\sigma(t)=-\partial_z u^z(1,0,t)$。该证明基于侧壁 Dirichlet 参数对 five-dimensional 提升恢复方程 $-\Delta_5\phi=G$，其压缩核在墙面附近的主导项为 $$K_0(x,y)=C_0\frac{xy}{(x^2+y^2)^2}, \qquad C_0>0,$$ 伴随受控剩余项、基于奇偶性的剪切消除以及窄对角锥上的应变变化界限。这些估计与过压缩的二次网格角度聚类泛函结合，后者吸收同尺度角度碎片化、生长的二次网格窗口、动态分离的远尾以及固定距离的外部场，形成可积分小的仿射卡马纳缺陷。所得不变聚类包含一个均匀有一致性的分量，其振幅 $A_*(t)$ 和 $B_*(t)$ 满足 Dini 比较系统 $$D^+A_*(t)\ge cB_*(t)^2, \qquad D^+B_*(t)\ge cA_*(t)B_*(t).$$