欧拉与纳维-斯托克斯方程的能量测度

欧拉或纳维-斯托克斯方程的一个解 $u$ 的能量等式可能失效，这种潜在失效可以利用所谓的“能量测度”来量化：即当 $t$ 趋近于首个可能的爆破时间时，测度 $|u(t)|^2\,\mbox{d}x$ 的弱-$*$ 极限。我们证明，$u$ 属于某些（弱或强）$L^q L^p$ 类可给出 $\mathcal{E}$ 的下局部维数的一致下界；更确切地说，它蕴含 $\mathcal{E}$ 的某个上 $s$-密度的一致有界性。我们还定义并给出了与 $\mathcal{E}$ 相关的“集中维数”的下界，该维数是能量能够集中的最小集合的豪斯多夫维数。$\mathcal{E}$ 的下局部维数与集中维数均度量了偏离能量等式的程度。作为我们估计的一个应用，我们证明任何三维纳维-斯托克斯方程中时间I型的解必在首个爆破时间满足能量等式。