Navier-Stokes方程Kolmogorov谱的界

设$u(x,t)$为整个${\mathbb R}^3$或环面${\mathbb R}^3/ {\mathbb Z}^3$上Navier-Stokes方程的一个（可能是弱）解。$u(\cdot,t)$的能谱是球面积分$$E(\kappa,t) = \int_{|k| = \kappa} |\hat{u}(k,t)|^2 dS(k), \qquad 0 \leq \kappa < \infty,$$或一个合适的近似和。Kolmogorov (1941)和Obukhov (1941)基于尺度不变性和量纲分析的论证预测，三维Navier-Stokes方程的大雷诺数解在惯性范围$\kappa_1 \leq \kappa \leq \kappa_2$内应满足$$E(\kappa, t) \sim C_0\varepsilon^{2/3}\kappa^{-5/3}$$，至少在平均意义下。我们给出了弱解在范数$\|{\mathcal F}\partial_x u(\cdot, t)\|_\infty$下的全局估计，该估计给出了解满足Kolmogorov定律能力的界。后续结果给出了惯性范围的严格上界和下界，以及Kolmogorov谱区域有效时间的一个上界。