具有任意能量剖面的 Navier-Stokes 不等式的弱解

在最近一篇论文中，Buckmaster & Vicol (arXiv:1709.10033) 使用凸积分方法构造了三维不可压缩 Navier-Stokes 方程的弱解 $u$，使得对给定的非负光滑能量剖面 $e: [0,T]\to \mathbb{R}$ 有 $\| u(t) \|_{L^2} =e(t)$。然而，尚不清楚是否可能推广此方法以构造非唯一的合适弱解（即满足强能量不等式（SEI）和局部能量不等式（LEI）的弱解）、Leray-Hopf 弱解（即满足 SEI 的弱解），或至少排除非单调的能量剖面。本文关注 $\mathbb{R}^3$ 上 Navier-Stokes 不等式的弱解，即满足 SEI 和 LEI（但不必求解 Navier-Stokes 方程）的向量场。给定 $T>0$ 和非单调减能量剖面 $e\colon [0,T] \to [0,\infty )$，我们构造了空间局部化且其能量剖面 $\| u(t)\|_{L^2 (\mathbb{R}^3 )}$ 对所有 $t\in [0,T]$ 任意接近 $e(t)$ 的 Navier-Stokes 不等式弱解。我们的方法仅适用于非单调减能量剖面。此类解的意义在于，尽管不满足 Navier-Stokes 方程，它们满足 Caffarelli、Kohn & Nirenberg (Comm. Pure Appl. Math., 1982) 的部分正则性理论。事实上，Scheffer 关于具爆破的 Navier-Stokes 不等式弱解的构造（Comm. Math. Phys., 1985 & 1987）表明 Caffarelli、Kohn & Nirenberg 的理论对此类解是尖锐的。我们的方法给出了 Scheffer 所用若干思想的指示。此外，它可用于获得比 Scheffer 更强的结果。即，我们得到了同时具有爆破和给定能量剖面的 Navier-Stokes 不等式弱解。