具有涡量界的$3$维随机Navier-Stokes方程的鞅适定弱解

本文构造了具有一般非线性噪声的三维不可压缩随机Navier-Stokes方程的鞅适定弱解。在确定性设定中，众所周知，“适定弱解”是满足两种不同类型局部能量不等式(LEI)的Leray-Hopf弱解。在随机设定中，我们应用“鞅解”的思想，避免转化为随机系统，并展示了两种局部能量不等式的新随机版本。特别地，在加性和线性乘性噪声情况下，OU过程和指数公式在我们的LEI表述中不起作用。这与处理加性噪声情况的文献[FR02,Rom10]不同。此外，我们成功应用“几乎处处上鞅”的概念来描述这种局部能量行为。为了关联文献[DR00]中提出的著名“耗散弱解”，我们推导了一个局部能量等式，并将该概念自然地扩展到随机设定。对于解的进一步正则性，我们能够限制涡量的$L^\infty([0,T];L^1(\Omega\times\mathbb T^3))$范数和涡量梯度的$L^{\frac{4}{3+\delta}}(\Omega\times[0,T]\times\mathbb T^3)$范数，前提是初始涡量是一个有限正则符号测度。