多层对数改进准则下的3D Navier-Stokes 方程全局良定性

本文扩展了我们关于对数改进正则性准则的前期结果，建立了多层对数改进的完整框架。我们证明，如果初始数据 $u_0 \in L^2(\mathbb{R}^3)$ 满足嵌套对数减弱条件 $\|(-\Delta)^{s/2}u_0\|_{L^q(\mathbb{R}^3)} \leq \frac{C_0}{\prod_{j=1}^{n} (1 + L_j(\|u_0\|_{\dot{H}^s}))^{\delta_j}}$，其中 $L_j$ 表示 $j$ 层嵌套对数，则相应的解在全局时间上存在且唯一。该证明引入了一系列日益精确的算子交换估计，包含多层对数修正。我们建立了临界阈值函数 $\Phi(s,q,\{\delta_j\}_{j=1}^n)$，完全刻画了全局正则性与潜在奇点形成之间的边界，当 $s$ 接近临界值 $1/2$ 时给出显式渐近分析。本文进一步通过细化的多重分形分析，提供了潜在奇点结构的严格几何描述，表明任何奇点集合的Hausdorff维数受到上界 $1 - \sum_{j=1}^n \frac{\delta_j}{1+\delta_j} \cdot \frac{1}{j+1}$ 的限制。我们的结果代表了对Navier-Stokes方程全局正则性问题取得显著进展，因为我们证明，通过对准确校准的嵌套对数改进序列，可以系统性地缩小到临界情形的差距。