周期性 Navier-Stokes 方程全局正则性问题的定量表述

周期性 Navier-Stokes 系统的全局正则性问题询问：对于每一个光滑无散初值 $u_0: (\R/\Z)^3 \to \R^3$，是否存在全局光滑解 $u$。在本文中我们指出（利用一个简单的紧性论证），这个定性问题等价于一个更定量的断言，即存在一个非减函数 $F: \R^+ \to \R^+$，使得对于所有 $0 < T \leq 1$ 和所有 Navier-Stokes 系统的光滑解 $u: [0,T] \times (\R/\Z)^3 \to \R^3$，都有局部时间的\emph{先验}界 $$\| u(T) \|_{H^1_x((\R/\Z)^3)} \leq F(\|u_0\|_{H^1_x((\R/\Z)^3)})$$。我们还证明了该局部时间界等价于相应的全局时间界。