三维Navier-Stokes方程全局(时间)解的一个充分类 II

本文简化并推广了文献\cite{GZ}的结果，使其包含$\Om =\R^3$的情形。设${[L^2({\mathbb{R}}^3)]^3}$为${\mathbb {R}}^3$上平方可积函数的Hilbert空间，并设${\mathbb H}[{\mathbb{R}}^3]^3 =: {\mathbb H}$为集合${{{\bf{u}} \in (\mathbb {C}_0^\infty [ \R^3 ])^3. {} | \nabla \cdot {\bf{u}} = 0}}$关于${[L^2({\mathbb{R}}^3)]^3}$内积的完备化。本文考虑${\mathbb H}$中一类函数的充分条件，该条件允许在${\mathbb {R}}^3$上存在三维Navier-Stokes方程的全局强解。这些方程描述了不可压缩粘性均匀牛顿流体的流体速度和压力随时间的演化，其中给定初始速度和外部体力。我们的方法利用Stokes半群的解析性质为$\mathbb{H}$构造了一个等价范数，从而能够证明Poincaré不等式的逆形式。该结果使我们能够对非线性项提供强界。然后我们证明，在适当条件下，存在一个仅依赖于区域、粘性和体力的正常数${{u}_+}$，使得对于闭球${{\mathbb B} ({\mathbb {R}}^3)}=: {\mathbb B}$（在${\mathbb {H}}$中半径为$(1/2){{u}_ +}$）内稠密集$\mathbb{D}$中的所有函数，Navier-Stokes方程在${\mathbb C}^{1} ({(0,\infty),{\mathbb {H}}})$中存在唯一的强解。