超临界空间 $E^s_{p,q}$ 中的 Navier-Stokes 方程

本文提出一种研究 Navier-Stokes 方程（NS）整体存在唯一性的新方法，并考虑初值属于一类带指数衰减权重的调制空间 $E^s_{p,q}$（$s<0,\ 1<p,q<\infty$），其范数定义为 $$\|f\|_{E^s_{p,q}} = \left(\sum_{k\in \mathbb{Z}^d} 2^{s|k|q}\|\mathscr{F}^{-1} \chi_{k+[0,1]^d}\mathscr{F} f\|^q_p \right)^{1/q}.$$ 空间 $E^s_{p,q}$ 是相当粗糙的函数空间，且不能作为缓增分布的子空间处理。例如，对所有 $\sigma<0$ 与 $s<0$ 我们有嵌入 $H^{\sigma}\subset E^s_{2,1}$。已知 $H^\sigma$（$\sigma<d/2-1$）是 NS 的超临界空间，由此可知 $E^s_{2,1}$（$s<0$）也是 NS 的超临界空间。我们证明若初值属于 $E^s_{2,1}$（$s<0$）且其 Fourier 变换支集在 $\mathbb{R}^d_I:= \{\xi\in \mathbb{R}^d: \ \xi_i \geq 0, \, i=1,...,d\}$ 中，则 NS 存在唯一的整体 mild 解。对属于 $E^s_{r,1}$（$2< r \leq d$）的初值有类似结果。我们的结果意味着若初值 $u_0$ 属于 $L^2$ 且 ${\rm supp} \, \widehat{u}_0 \, \subset \mathbb{R}^d_I$，则 NS 存在唯一整体解。