三维Navier-Stokes方程的积分公式及光滑解的更长存在时间

我们考虑三维Navier-Stokes初值问题，$$v_t - \nu \Delta v = -\mathcal{P} [ v \cdot \nabla v ] + f , v(x, 0) = v_0 (x), x \in \mathbb{T}^3 (*)$$ 其中$\mathcal{P}$是Hodge投影。我们假设傅里叶变换范数$\| {\hat f} \|_{l^1 (\mathbb{Z}^3)}$和$\| {\hat v}_0 \|_{l^{1} (\mathbb{Z}^3)}$是有限的。使用逆拉普拉斯变换方法，我们证明了一个等价于(*)的积分方程有唯一解${\hat U} (k, q)$，该解在$q$位于以$\RR^+$为中心的扇形区域时指数有界，其中$q$是$1/t^n$（$n \ge 1$）的逆拉普拉斯对偶变量。这特别意味着(*)在$t \in (0, T)$上存在经典解的局部存在性，其中$T$依赖于$\| {\hat v}_0 \|_{l^{1}}$和$\| {\hat f} \|_{l^1}$。如果当$q\to\infty$时$\| {\hat U} (\cdot, q) \|_{l^1}$具有次指数界，则NS解的整体存在性成立。如果$f=0$，则逆命题也成立：如果NS有整体解，则存在$n \ge 1$使得$\| {\hat U} (\cdot, q) \|$必然衰减。我们表明，U的指数增长率界$\alpha$可以基于${\hat U}$在有限区间$[0,q_0]$上的值更好地估计。我们还展示了如何以可控误差数值求解积分方程。初步数值计算表明，该方法给出的存在时间显著超过经典估计。