$\mathbb{R}^3$ 中 Navier-Stokes 方程的 Borel 可求和性与小时间存在性

我们考虑 Navier-Stokes 初值问题，v_t - \nabla v = -\mathcal{P} [ v \cdot \nabla v \right ] + f, v(x, 0) = v_0 (x), x \in \mathbb{R}^3 其中 $\mathcal{P}$ 为到无散度向量场的 Hodge 投影，并假设对 $\beta \ge 0, \mu > 3$ 有 $| f |_{\mu, \beta} < \infty$ 与 $| v_0 |_{\mu+2, \beta} < \infty$，其中 $$| {\hat f} (k) | = \sup_{k \in \mathbb{R}^3} e^{\beta |k|} (1+|k|)^\mu | {\hat f} (k) |$$ 且 ${\hat{f}} (k) = \mathcal{F} [f (\cdot)] (k)$ 为关于 $x$ 的 Fourier 变换。通过 Borel 求和法，我们证明存在经典解形如 $$v(x, t) = v_0 + \int_0^\infty e^{-p/t} U(x, p) dp$$ $t\in\CC$， $\Re \frac{1}{t} > \alpha$，并且我们用 $| {\hat v}_0 |_{\mu+2, \beta}$ 与 $| {\hat f} |_{\mu, \beta}$ 估计 $\alpha$。我们证明 $| {\hat v} (\cdot; t) |_{\mu+2, \beta} < \infty$。存在性与关于 $t$ 的解析性结果类似于 Sobolev 空间中的相应结果。本方法的一个重要特征是：$v$ 越过 $t=\alpha^{-1}$ 的延拓成为当 $p \to \infty$ 时 $U(\cdot, p)$ 的增长率问题，其中 $U$ 为已知函数。目前我们的估计可能非最优。第二个结果是我们证明了对于解析的 $v_0$ 与 $f$，$v$ 的 Borel 可求和性。特别地，我们得到 Gevrey-1 渐近结果：$v \sim v_0 + \sum_{m=1}^\infty v_m t^m$，其中 $|v_m | \le m! A_0 B_0^m$，$A_0$ 与 $B_0$ 由 $v_0$ 与 $f$ 给出，且对小 $t$，取 $m(t)=\lfloor B_0^{-1}t^{-1}\rfloor$，有 $$| v(x, t) - v_0 (x) - \sum_{m=1}^{m(t)} v_m (x) t^m | \le A_0 m(t)^{1/2} e^{-m(t)}$$