弱型$L^d$空间中Navier-Stokes方程温和解的唯一性

本文研究全空间中受迫或非受迫Navier-Stokes方程温和解的唯一性。已知对于非受迫Navier-Stokes方程，当$d\geq 4$时，温和解的唯一性在$L^{\infty}(0,T;L^d(\mathbb{R}^d))$中成立；当$d\geq3$时，在$C([0,T];L^d(\mathbb{R}^d))$中成立。对于受迫Navier-Stokes方程，当$d\geq3$时，已知在适当的Lorentz空间中，具有外力$f$和初始数据$u_{0}$的温和解在$C([0,T];L^{d,\infty}(\mathbb{R}^d))$中的唯一性成立。本文证明，对于$d\geq3$，当存在一个具有相同初始数据和外力的温和解属于$C([0,T];\widetilde{L}^{d,\infty}(\mathbb{R}^d))$时，受迫Navier-Stokes方程在$C((0,T];\widetilde{L}^{d,\infty}(\mathbb{R}^d))\cap L^\beta(0,T;\widetilde{L}^{d,\infty}(\mathbb{R}^d))$（其中$\beta>2d/(d-2)$）中的温和解具有唯一性。这里$\widetilde{L}^{d,\infty}$是${L^{\infty}\cap L^{d,\infty}}$关于$L^{d,\infty}$范数的闭包。