带时空白噪声的二维 Navier-Stokes 方程解的非唯一性

本文研究由时空白噪声驱动的二维不可压缩 Navier-Stokes 方程。我们证明了对每个散度自由初始条件 $u_0\in L^p\cup C^{-1+\delta},\ p\in(1,2),\delta>0$，存在无穷多个整体时间的概率强解且解析弱解 $u$。更确切地说，存在无穷多个解使得对某个 $\zeta\in(0,1)$，有 $u-z\in C([0,\infty);L^p)\cap L^2_{\rm{loc}}([0,\infty);H^\zeta)\cap L^1_{\rm{loc}}([0,\infty);W^{\frac13,1})$，其中 $z$ 为线性方程之解。该结果特别地蕴含了律非唯一性。我们的结果是最优的，因为满足对某个 $\zeta\in(0,1)$ 有 $u-z\in C([0,\infty);L^2)\cap L^2_{\rm{loc}}([0,\infty);H^\zeta)$ 的解是唯一的。