亚临界空间中广义 Navier-Stokes 方程的非唯一性

本文考察带有摩擦项 $(-\Delta)^{\beta}$ 的广义 Navier-Stokes 方程，其中 $\beta>\frac{1}{2}$。当 $\beta\in(1,2)$ 时，我们证明对于任意 $\alpha>0$，广义 Navier-Stokes 方程在初始数据为 $\dot{B}^{-\beta-\alpha}_{\infty,1}(\mathbb{T}^d)$ 下的平滑解非唯一。值得注意的是，空间 $\dot{B}^{-\beta-\alpha}_{\infty,1}(\mathbb{T}^d)$ 对于 $0<\alpha<\beta-1$ 是亚临界的。据我们所知，这是 Navier-Stokes 方程在临界正则性初始数据下的首个非唯一性结果。为证明上述结果的尖锐性，对于 $\beta>\frac{1}{2}$，我们建立了在 $\dot{B}^{-\beta-\alpha}_{\infty,\infty}(\mathbb{T}^d)$ 下（其中 $\alpha<0$ 且 $\alpha\leq\beta-1$）的广义 Navier-Stokes 方程关于小初始数据的局部良好可积性。