轴对称纳维-斯托克斯方程的临界性

轴对称纳维-斯托克斯方程的光滑解遵循如下最大值原理：$$\sup_{t\geq 0}\|rv^\theta(t, \cdot)\|_{L^\infty} \leq \|rv^\theta(0, \cdot)\|_{L^\infty}.$$ 我们证明，如果 $rv^\theta$ 满足一种形式有界条件（FBC），该条件在纳维-斯托克斯方程自然标度下不变，则所有初值属于 $H^{\frac{1}{2}}$ 的解在时间上全局光滑。特别地，如果 $rv^\theta$ 满足 \begin{equation}\nonumber \sup_{t \geq 0}|rv^\theta(t, r, z)| \leq C_\ast|\ln r|^{- 2},\ \ r \leq \delta_0 \in (0, \frac{1}{2}),\ C_\ast < \infty, \end{equation} 则我们的 FBC 得以满足。此处 $\delta_0$ 和 $C_\ast$ 既独立于初值剖面也独立于其范数。因此，与正则性的差距在对数意义上。我们还证明了如果 $\|rv^\theta(0, \cdot)\|_{L^\infty}$ 或 $\sup_{t \geq 0}\|rv^\theta(t, \cdot)\|_{L^\infty(r \leq r_0)}$ 较小，则解全局正则，但此种小性依赖于初值的某个无量纲量。