轴对称纳维-斯托克斯方程角速度的临界正则性条件

设 $v$ 为轴对称三维纳维-斯托克斯方程 Leray-Hopf 解的速度。研究表明，若角速度 $v_\theta$ 满足一个在标准缩放下为临界的积分条件，则 $v$ 是正则的。该条件允许满足以下不等式的函数：$$|v_\theta(x, t)| \le \frac{C}{r |\ln r|^{2+\epsilon}}, \quad r<1/2,$$ 其中 $r$ 为 $x$ 到轴的距离，$C$ 和 $\epsilon$ 为任意正常数。与临界先验界 $$|v_\theta(x, t)| \le \frac{C}{r}, \qquad 0< r \le 1/2,$$ 相比，我们的条件在最坏情况下仅相差对数因子 $|\ln r|^{2+\epsilon}$。这受近期有趣论文 \cite{CFZ:1} 的启发，其中 H. Chen、D. Y. Fang 和 T. Zhang 建立了（除其他外）角速度的几乎临界正则性条件。先前的正则性条件相差因子 $r^{-1}$。证明基于一个新的观察：当以不同视角看待时，三维轴对称纳维-斯托克斯方程中所有涡拉伸项都是临界的，而非通常认为的超临界。