哈密顿-雅可比方程在 Besov 空间 $B^0_{\infty,q}$ 中的不适定性

本文研究以下哈密顿-雅可比方程的柯西问题：\n\begin{align*}\n\partial_t u - \Delta u = |\nabla u|^2, \quad t>0, \ x\in \mathbb{R}^d, \\\nu(0,x)=u_0, \quad x\in \mathbb{R}^d.\n\end{align*}\n我们证明，在 Besov 空间 $B^0_{\infty,q}(\mathbb{R}^d), 1\leq q\leq \infty$ 中，解映射在原点处不连续。即，我们可以构造一列初值 $\{u^N_0\}$ 满足 $\|u^N_0\|_{B^0_{\infty,q}(\mathbb{R}^d)}\rightarrow 0, \ N\rightarrow \infty$，使得相应的解 $\{u^N\}$（满足 $u^N(0)=u^N_0$）满足\n\begin{align*}\n\|u^N\|_{L^\infty_T(B^0_{\infty,q}(\mathbb{R}^d))} \geq c_0, \qquad \forall \ T>0, \quad N\gg 1,\n\end{align*}\n其中常数 $c_0>0$ 与 $N$ 无关。