热方程与 Navier-Stokes 方程的时间解析性

我们证明了全空间中两类抛物方程解的时间解析性，无需任何衰减或消失条件。其中一类涉及在 $\M$ 上阶为 $2$ 的指数增长热方程解。此处 $\M$ 为 $\R^d$ 或 Ricci 曲率下有界的完备非紧流形。一个推论是向后热方程 Cauchy 问题的尖锐可解性条件，这是一个著名的非适定问题。另一推论是解降至初始时间的时间解析性的尖锐判据。另一类涉及全空间中不可压缩 Navier-Stokes 方程的有界温和解。关于 Navier-Stokes 方程已有许多确立已久的解析性结果。例如见 \cite{Ka:1} 和 \cite{FT:1} 关于某种积分意义下的空间与时间解析性，\cite{CN:1} 关于三维 Cauchy 问题解的点态时空解析性，以及 \cite{Ma:1} 和 \cite{Gi:1} 在零边界条件下的点态时间解析性结果。我们的结果似乎是所有维度下 Cauchy 问题首个一般的点态时间解析性结果，其证明仅用实变函数方法。证明涉及对积分核进行代数操作的方法，该方法似乎适用于其他演化方程。