热方程的在时间上处处不解析的光滑解

光滑但处处不解析函数的存在是众所周知的（du Bois-Reymond, Math. Ann., 21(1):109-117, 1883）。然而，热方程的光滑解通常在空间变量上是解析的。同样众所周知（Kowalevsky, Crelle, 80:1-32, 1875）的是，即使初始函数是实解析的，热方程的解在$t=0$处也可能不是时间解析的。最近，\cite{Zha20, DZ20, DP20}中证明，在整个空间或半空间带零边界值的热方程的解在本质上最优的条件下是时间解析的。在本文中，我们表明在时间解析性在具有一般边界条件的区域中或在没有适当增长条件时并不总成立。更确切地说，我们构造了半平面中两个在时间上处处不解析的有界热方程解。此外，对任意$\delta>0$，我们在全平面上找到一个具有$2+\delta$阶指数增长、且在时间上处处不解析的热方程解。