延迟微分方程解的解析性与非解析性

我们考虑方程 $$\dot x(t)=f(t,x(t),x(\eta(t)))$$，其中包含可变时移 $\eta(t)$。非线性项 $f$ 和移位函数 $\eta$ 均给定，并假设为其变量的解析（即全纯）函数。典型情况下，时移代表延迟，即 $\eta(t)=t-r(t)$ 且 $r(t)\ge 0$。主要研究的问题是确定微分方程的解（通常是 $C^\infty$ 且常为周期解）何时为 $t$ 的解析函数；更精确地说，是确定对于给定解，其在哪些 $t$ 值处解析，在哪些 $t$ 值处不解析。我们获得了在某些 $t$ 值处解析性以及非解析性的充分条件。研究表明，对于某些方程，存在一个处处 $C^\infty$ 的解，它在某些 $t$ 值处解析，但在其他 $t$ 值处不解析。在整个分析过程中，映射 $t\to \eta(t)$ 的动力学性质起着至关重要的作用。