$\mathbb{R}^N$上非共振抛物型方程的受迫周期解

本文将提供关于非自治抛物型方程 $u_t = \Delta u + f(t,x,u)$（其中 $x\in\mathbb{R}^N$, $t>0$）存在 $T$-周期解的判据，该方程具有渐近线性项 $f$。判据用非线性项 $f$ 的时间平均函数 $\hat f$ 以及 $\mathbb{R}^N$ 上 Laplace 算子 $\Delta$ 的谱来表示。其中一个判据指出，如果 $\hat f$ 在无穷远处的导数 $\hat f_\infty$ 不与 $\Delta$ 的谱相互作用，即 $\mathrm{Ker} (-\Delta + \hat f_\infty)=\{0\}$，则该抛物型方程存在 $T$-周期解。另一个定理是在 0 处和无穷远处的线性化在拓扑上不同的情况下推导出来的，即 0 处和$\infty$处平均线性化的负特征值的总重数模 2 不同。