$\mathbb{R}^N$ 上共振处周期抛物型问题的 Landesman-Lazer 型结果

我们关注形式为 $u_t = \Delta u + V(x) u + f(t,x,u)$ 的非自治抛物型问题的 $T$-周期解，其中 $t >0$，$x \in \mathbb{R}^N$，$V \in L^\infty (\mathbb{R}^N)+L^p(\mathbb{R}^N)$，$p \geq N$，且 $f:\mathbb{R}^N\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 为 $T$-周期连续扰动。考虑所谓的共振情形，即 ${\cal N}:=\mathrm{Ker} (\Delta + V) \neq \{0\}$ 且 $f$ 被一个平方可积函数所界。我们导出了相关轨迹平移算子的不动点指数公式，该公式用时间平均映射 $\hat f: {\cal N}\to {\cal N}$（即 $f$ 在 ${\cal N}$ 上的限制）的 Brouwer 拓扑度来表示。利用该公式和延拓技术，我们证明了 Landesman-Lazer 型条件蕴含了 $T$-周期解的存在性。