耗散双曲系统的周期解. I: 线性问题的Fredholm可解性

本文研究一维空间中如下类型的线性一阶双曲系统：$$\partial_tu_j + a_j(x,t)\partial_xu_j + \sum\limits_{k=1}^nb_{jk}(x,t)u_k = f_j(x,t),\; x \in (0,1),\; j=1,\ldots,n,$$ 满足时间上的周期条件和空间上的反射边界条件。我们陈述了一个非共振条件（依赖于系数 $a_j$ 和 $b_{jj}$ 以及边界反射系数），该条件保证了问题在连续函数空间中的Fredholm可解性。此外，我们陈述了另一个非共振条件（也依赖于 $\partial_ta_j$），该条件保证了 $C^1$ 解的正则性。此外，我们给出了例子，表明这两个非共振条件通常不能被省略。这些条件在问题数据的小扰动下是稳健的。我们的结果适用于许多非严格双曲系统，但即使在严格双曲的情况下也是新的。