耗散双曲系统的周期解。II：半线性问题的 Hopf 分岔

我们考虑如下类型的半线性双曲系统边值问题：$$\partial_tu_j + a_j(x,\la)\partial_xu_j + b_j(x,\la,u) = 0, \; x\in(0,1), \;j=1,\dots,n$$ 其中系数函数 $a_j$ 和 $b_j$ 光滑，且对于所有 $x \in [0,1]$，$\la \in \R$ 以及 $j=1,\ldots,n$，满足 $b_j(x,\la,0) = 0$。我们陈述了 Hopf 分岔的条件，即从零稳态解分岔出的时间周期解的存在性、局部唯一性（相差相位平移）、光滑性以及对 $\la$ 的光滑依赖性。此外，我们推导了一个确定分岔方向的公式。证明是通过 Liapunov-Schmidt 约化程序完成的。为此，使用了线性化系统的 Fredholm 性质和隐函数定理技术。与抛物型偏微分方程或常微分方程的 Hopf 分岔定理相比，双曲型偏微分方程的 Hopf 分岔定理至少有两个显著特征：首先，非退化时间周期解是否光滑依赖于系统参数这一问题要微妙得多；其次，系统中需要足够量的耗散性，而事先尚不清楚如何根据偏微分方程的数据和边界条件来验证这一点。