自治半线性双曲型偏微分方程时间周期解的正则性

本文研究一维半线性双曲型偏微分方程的自治边值问题。对于满足某一非共振条件的时间周期经典解,我们证明如下:若偏微分方程关于空间变量 $x$ 连续且关于未知函数 $u$ 为 $C^\infty$ 光滑,则解关于时间变量 $t$ 为 $C^\infty$ 光滑;若偏微分方程关于 $x$ 与 $u$ 均为 $C^\infty$ 光滑,则解关于 $t$ 与 $x$ 均为 $C^\infty$ 光滑。对适当的弱解同样成立。此外,我们给出不满足非共振条件的时间周期函数例子:它们为弱解但非经典解,以及为经典解但关于 $t$ 与 $x$ 均非 $C^\infty$ 光滑,即便偏微分方程关于 $x$ 与 $u$ 为 $C^\infty$ 光滑。证明中我们使用了线性时间周期双曲型偏微分方程的 Fredholm 可解性性质,以及 E. N. Dancer 关于等变方程解正则性的一个结果。