热方程的解析解

受 Newman 猜想近期证明 \cite{R-T} 的启发，我们研究整热函数(即满足热方程 $\partial_t F = \partial_z^2 F$ 且在 $z$ 和 $t$ 中均为整函数的方程解)的某些性质。作为预备，我们建立了整函数的阶与型的一些一般性质。随后，我们通过确定函数 $f(z)$ 成为热方程整解初值条件的充要条件来开启对整热函数的探究；接着，我们考察整热函数 $F(t, z)$ 视为 $z$ 的函数时的 $z$-阶与 $z$-型，和将其视为 $t$ 的函数时的 $t$-阶与 $t$-型之间的关系。此后，我们将注意力转向整热函数 $F(t, z)$ 视为 $z$ 的函数时的零点 $z_k(t)$。我们证明使 $F(t, z) = \partial_z F(t, z) = 0$ 的点 $(t, z)$ 在 $\mathbb{C}^2$ 中构成离散集，并推导了 $F(t, z)$ 零点的 $t$-演化方程。这些微分方程对除可数多个 $t \in \mathbb{C}$ 外的所有 $t$ 成立。