分段常数热传导系数热方程的反问题

控制方程为 $u_t = (a(x)u_x)_x$, $0\le x\le 1$, $t>0$, $u(x,0)=0$, $u(0,t)=0$, $a(1)u'(1,t)=f(t)$。额外数据为 $u(1,t)=g(t)$。假设 $a(x)$ 是分段常数函数，且 $f\not\equiv 0$。证明了函数 $a(x)$ 由上述数据唯一确定。对 $a(x)$ 间断点的数量及其位置未施加任何限制。间断点的数量是有限的，但该数量可以任意大。若 $a(x)\in C^2[0,1]$，则对于多维问题 $x\in \mathbb{R}^n, n>1$，已有唯一性定理建立（见 MR1211417 (94e:35004)），该定理针对具有无穷多边界数据的定常问题。本文的创新点在于处理不连续的分段常数函数 $a(x)$，并证明算子对 $\{\ell_1, \ell_2 \}$ 的 C 性质，其中 $\ell_j:= -\frac{d^2}{dx^2} + k^2 q_j^2(x)$, $j=1,2$, $q_j^2(x)>0$ 为分段常数函数；以及算子对 $\{L_1, L_2 \}$ 的 C 性质，其中 $L_ju:=-[a_j(x)u'(x)]'+\lambda u$, $j=1,2$, $a_j(x)>0$ 为分段常数函数。C 性质指齐次微分方程解的乘积集合的完备性（见 MR1759536 (2001f:34048)）。