$\mathbb{R}\times\mathbb{C}$ 中热方程相对基本解的逐点估计

设 $p:C\to R$ 为次调和、非调和多项式,$\tau\in R$ 为参数。定义 $\bar Z_{\tau p} = \partial_{\bar z} + \tau p_{\bar z} = e^{-\tau p} p_{\bar z} e^{\tau p}$,其为 $L^2(C)$ 上闭的、稠定算子。若 $\Box_{\tau p} = \bar Z_{\tau p}\bar Z^*_{\tau p}$ 且 $\tilde\Box_{\tau p} = \bar Z^*_{\tau p}\bar Z_{\tau p}$,我们求解热方程 $\partial_s u + \Box_{\tau p} u=0$、$u(0,z)=f(z)$ 与 $\partial_s \tilde u + \tilde\Box_{\tau p} \tilde u=0$、$\tilde u(0,z) = \tilde f(z)$。我们通过热半群写出解,并说明解可写为对分布核的积分。我们证明这些核在对角线 $\{(s,z,w) : s=0 \text{and} z=w\}$ 之外为 $C^\infty$,并给出核及其导数的逐点界。