图上的半线性热方程与抛物型变分不等式

设 $G=(V,E)$ 为局部有限连通加权图，$\Omega$ 为 $V$ 的无界子集。利用 Rothe 方法，我们研究半线性热方程 $\partial_tu+|u|^{p-1}\cdot u=\Delta u~(p\ge1)$ 与抛物型变分不等式 \begin{eqnarray*} \int_{\Omega^\circ} \partial_tu\cdot(v-u)\,d\mu\ge \int_{\Omega^\circ}(\Delta u+f)\cdot(v-u)\,d\mu \qquad\mbox{for any }v\in \mathcal{H}, \end{eqnarray*} 其中 $\mathcal{H}=\{u\in W^{1,2}(V):u=0\mbox{ on }V\backslash\Omega^\circ\}$ 的解的存在性。