涉及分数阶 $p$-Laplacian 的 Choquard 方程的正则性结果

在本文中，我们首先研究一类 $p$-分数阶 Choquard 方程的弱解正则性：\begin{equation*} \;\;\; \left.\begin{array}{rl} (-\Delta)_p^su&=\left(\displaystyle\int_\Omega\frac{F(y,u)}{|x-y|^{\mu}}dy\right)f(x,u),\hspace{5mm}x\in \Omega, u&=0,\hspace{35mm}x\in \mathbb R^N\setminus \Omega, \end{array} \right\} \end{equation*} 其中 $\Omega\subset\mathbb R^N$ 是光滑有界区域，$1<p<\infty$ 且 $0<s<1$ 满足 $sp<N$，$0<\mu<\min\{N,2sp\}$，$f:\Omega\times\mathbb R\to\mathbb R$ 是具有至多临界增长条件（在 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式意义下）的连续函数，$F$ 为其原函数。接下来，对于 $p\geq2$，我们讨论与上述问题的能量泛函 $J$ 相关的 Sobolev 极小元与 Hölder 极小元，并由此建立 $J$ 在分数阶 Sobolev 空间 $W_0^{s,p}(\Omega)$ 中局部极小元的存在性。此外，我们在上述方程右端添加局部扰动项（在 Sobolev 不等式意义下至多临界）来讨论前述结果。