分数 $p$-Laplacian 的 Lipschitz 正则性

本文研究形式为 $(-\Delta_p)^s u=f$ 的分数 $p$-Laplace 方程的 Hölder 正则性，其中 $p>1, s\in (0, 1)$ 且 $f\in L^\infty_{\rm loc}(\Omega)$。具体而言，我们证明当 $\frac{sp}{p-1}\neq 1$ 时，$u\in C^{0, \gamma_\circ}_{\rm loc}(\Omega)$，其中 $\gamma_\circ=\min\{1, \frac{sp}{p-1}\}$。特别地，这表明当 $\frac{sp}{p-1}>1$ 时，$u$ 为局部 Lipschitz。此外，我们证明当 $\frac{sp}{p-1}=1$ 时，只要 $f$ 为局部 Hölder 连续，解也为局部 Lipschitz。此外，我们讨论了分数双相问题的进一步正则性结果。