分数阶 $(p,q)$-泊松方程关于规则数据的最优 H"older 正则性

我们证明了关于粘性解的 $(-\Delta_p)^{s}u(x) + {\rm PV} \int_{\mathbb{R}^n} |u(x)-u(x+z)|^{q-2}(u(x)-u(x+z))\frac{\xi(x,z)}{|z|^{n+ tq}} dz=f \quad \text{在}\; B_2$ 的定量 H"older 连续性结果，其中 $t, s\in (0, 1), 1<p\leq q, tq\leq sp$ 且 $\xi\geq 0$。具体而言，若 $\xi$ 为 $\alpha$-H"older 连续且 $f$ 为 $\beta$-H"older 连续，则任何粘性解在局部 $\gamma$-H"older 连续，满足 $\gamma<\gamma_\circ$，其中 $$\gamma_\circ=\left\{\begin{array}{lll} \min\{1, \frac{sp+\alpha\wedge\beta}{p-1}, \frac{sp}{p-2}\} & \text{对于}\; p>2, \\ \min\{1, \frac{sp+\alpha\wedge\beta}{p-1}\} & \text{对于}\; p\in (1, 2]. \end{array}\right.$$ 此外，若 $\min\{\frac{sp+\alpha\wedge\beta}{p-1}, \frac{sp}{p-2}\}>1$ 当 $p>2$，或 $\frac{sp+\alpha\wedge\beta}{p-1}>1$ 当 $p\in (1, 2]$，则解在局部 Lipschitz 连续。这一结果推广了 [20] 中关于 H"older 正则系数的结论。此外，由于粘性解与弱解之间的等价性，我们的结果为 $(-\Delta_p)^{s}u(x)=0$ 的弱解提供了局部 Lipschitz 估计，前提是 $p\in (1, 2]$ 或 $sp>p-2$ 当 $p>2$，从而改进了最近的工作 [9, 10, 24]。