一类具有凹凸非线性项的变阶分数阶 $p(x)$-拉普拉斯问题的多解性与一致估计

本文研究如下具有变指数的变阶非局部 Choquard 问题的存在性/多解性结果 \begin{equation*} \begin{array}{rl} (-\Delta)_{p(\cdot)}^{s(\cdot)}u(x)&=\lambda|u(x)|^{\alpha(x)-2}u(x)+\left(\DD\int_\Omega\frac{F(y,u(y))}{|x-y|^{\mu(x,y)}}dy\right)f(x,u(x)),\\ &~\hspace{6cm} x\in \Omega, \\ u(x)&=0 ,\hspace{20mm} x\in \Omega^c:=\mathbb R^N\setminus\Omega, \end{array} \end{equation*} 其中 $\Om\subset\mathbb R^N$ 为光滑有界域，$N\geq 2$，$p,s,\mu$ 和 $\alpha$ 为 $\mathbb R^N\times\mathbb R^N$ 上的连续函数，$f(x,t)$ 为连续函数且 $F(x,t):=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x,s)ds$。在对 $s,p,\mu,\alpha$ 和 $f(x,t)$ 的适当假设下，首先我们研究了适用于变阶变指数分数阶 Sobolev 空间的变指数 Hardy-Sobolev-Littlewood 型结果。随后我们给出上述方程的 existence/multiplicity 结果。