对数型 Choquard 方程的一些存在性与唯一性结果

我们考虑由分数阶 $p$-Laplacian 驱动的如下双重非局部非线性 logistic 问题 \begin{equation*} \pl u = f(x,u) -\cq ~\text{in}~ \O, ~u=0 ~\text{in}~ \Rn\setminus\O. \end{equation*} 此处 $\O \subset \Rn (N\geq2)$ 是具有 $C^{1,1}$ 边界 $\partial \O$ 的有界域，$s \in (0,1)$，$p \in (1,\infty)$ 满足 $ps < N$。且 $p_{s,\a}^\#\leq r<\infty$，其中 $p_{s,\a}^\#=(2N-\a)/2N$。在对非线性项 $f$ 适当且一般的假设下，我们研究了弱解的存在性、不存在性、唯一性与正则性。作为应用，我们处理了亚扩散型 logistic Choquard 问题。在超扩散情形中，我们还考虑了带 logistic Choquard 的 Brezis-Nirenberg 型问题，并证明了对 $\l$ 的适当选择存在非平凡解。最后，对 $f$ 的特定选择即 $f(x,t)=\l t^{q-1}$（其中 $1<p<2r<q$），我们证明至少存在一个能量节点解。