关于退化于低维流形上的椭圆方程的若干论述

本文继续了在 [Cora-Fioravanti-Vita-25, Fioravanti-24] 中对椭圆方程局部正则性理论的分析，后者在系数在某些低维流形上退化或奇异。模型算子为 $L_au(z)=\mathrm{div}(|y|^a\nabla u)(z)$，其中 $z=(x,y)\in\mathbb R^{d-n}\times\mathbb R^n$，$2\leq n\leq d$ 为两个整数且 $a\in\mathbb R$。权重项在可能非常薄的特征流形 $\Sigma_0=\{|y|=0\}$ 上退化/奇异，其维数为 $0\leq d-n\leq d-2$。当 $a+n>0$ 时，我们证明了轴对称的 $L_a$-调和函数的光滑性。在中等范围 $a+n\in(0,2)$ 中，我们处理具有非齐次共轭边界条件的解的正则性估计，并在稠密平坦流形上建立了分数拉普拉斯算子的联系，通过 Dirichlet-到-Neumann 映射，这是 Caffarelli 和 Silvestre 扩展理论在高维数分量类比。最后，当 $a+n<2$ 时，我们补充了 [Fioravanti-24] 中的研究，提供具有齐次 Dirichlet 边界条件的解的一些正则性估计，通过边界 Harnack 原理实现。