非均匀 elliptically 方程的 Harnack 不等式

我们研究关于裸露退化椭圆方程 $a_{ij}\partial_{ij}u =0$ 的正则性性质，其中系数满足 $I \ge a_{ij}(x) \ge \lambda(x) I$，且唯一假设是 $\lambda^{-1} \in L^p$。我们证明对于 $p>d-1$ 的情形，振荡性改进和 Liouville 定理成立，以及对于维数足够大的 $p$ 的情形，Harnack 不等式成立。在此过程中，我们获得了一个新的 $\log-L^\varepsilon$ 弱 Harnack 不等式。随后，通过双指数 blow-up 屏障接触亚解，我们也推导出即便在均匀 elliptically 情形下也是全新的对数局部最大原理。上述结果均适用于 $p>d-1$。最后，我们构造实例表明在 $p<d-1$ 的区间内，不可能存在 Harnack 或弱 Harnack 不等式，亦不可能存在幂类型 $L^\varepsilon$ 不等式。