粗粒化椭圆性与 De Giorgi-Nash-Moser 理论

本文在对称系数场 $\mathbf{a}$ 的粗粒化椭圆性假设下，证明了方程 $-\nabla\cdot(\mathbf{a}(x)\nabla u)=0$ 的非负弱解的局部有界性和 Harnack 不等式。粗粒化椭圆性是一种尺度依赖条件，仅针对满足 $\mathbf{a},\mathbf{a}^{-1}\in L^1$ 的场，通过所有尺度上三元立方体上的有效扩散矩阵族来定义，且我们的估计定量地依赖于相应的粗粒化椭圆率。我们证明，粗粒化椭圆性可以通过纯负 Sobolev 正则性假设来保证：若 $\mathbf{a}\in L^1\cap W^{-s,p}(U)$ 且 $\mathbf{a}^{-1}\in L^1\cap W^{-t,q}(U)$，其中指数 $p,q\in[1,\infty]$ 和 $s,t\in[0,1)$ 满足 $s<1-\frac{1}{p}$，$t<1-\frac{1}{q}$ 以及 $$\frac{s+t}{2} + \frac{d}{2}\Bigl(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\Bigr) < 1,$$ 则 $\mathbf{a}$ 在 $U$ 中是粗粒化椭圆的，且每个非负解都满足定量的单位尺度 Harnack 不等式。特别地，当 $s=t=0$ 时，我们在可积性条件 $\mathbf{a}\in L^p$，$\mathbf{a}^{-1}\in L^q$ 且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}<\frac{2}{d}$ 下恢复了 Trudinger 的经典结果，并得到了 Harnack 常数关于 $\|\mathbf{a}\|_{L^p}$ 和 $\|\mathbf{a}^{-1}\|_{L^q}$ 的精确标度。更重要的是，我们的准则适用于新的退化与奇异系数场类别，对于这些场，对所有 $\delta>0$ 都有 $\mathbf{a},\mathbf{a}^{-1}\notin L^{1+\delta}$，包括由奇异分形测度和高斯乘性混沌生成的例子，这超出了先前仅基于可积性假设的方法所能处理的范围。