穿孔与非穿孔域上非局部椭圆算子的齐次化

在本文中，我们关注非局部椭圆边值问题 $$\mathcal{L}_\varepsilon^s u_\varepsilon =(-\nabla\cdot (A_\varepsilon(x)\nabla))^{s}u_\varepsilon=f \mbox{ in } \mathcal O,$$ 的齐次化过程，其中 $0<s<1$，并考虑有界域 $\mathcal O\subseteq \mathbb{R}^n$ 外非齐次 Dirichlet 型条件。在系数 $A_\varepsilon(x)$ 的标准一致椭圆性、有界性和对称性假设下，我们利用 $H$-收敛方法，当 $\varepsilon\to 0$ 时，找到齐次化问题，其齐次化系数为序列 $\{A_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ 的标准 $H$-极限（参见 \cite{MT1}）。我们还证明了文献中通常所称的\textit{奇异项}（见 \cite[第4章]{MT}）不出现在穿孔域中与分数阶 Laplace 算子 $(-\Delta)^s$ 相关的齐次化问题中。这两个结果均在一类一般微结构下获得。因此，我们可以确认，在非穿孔域中，当 $\varepsilon\to 0$ 时的齐次化过程在 $s\to 1^{-}$ 下是稳定的，但在穿孔域的情形下未必如此。