奇异性扰动与均匀化的一般方法 II：半线性椭圆组

我们考虑二维中如下类型的二阶半线性椭圆组边值问题的周期均匀化：$$\partial_{x_i}\left(a_{ij}^{\alpha \beta}(x/\varepsilon)\partial_{x_j}u(x)+b_i^\alpha(x,u(x))\right)=b^\alpha(x,u(x)) \mbox{ for } x \in \Omega.$$ 对于小的 $\varepsilon>0$，我们证明弱解 $u=u_\varepsilon$ 的存在性以及当 $\|u-u_0\|_\infty \approx 0$ 时其局部唯一性，其中 $u_0$ 是均匀化边值问题的给定非退化弱解，并且我们估计了当 $\varepsilon \to 0$ 时 $\|u_\varepsilon-u_0\|_\infty$ 趋于零的收敛速率。粗略而言，我们的假设如下：函数 $a_{ij}^{\alpha \beta}$ 有界、可测且 $\mathbb{Z}^2$-周期，函数 $b_i^\alpha(\cdot,u)$ 和 $b^\alpha(\cdot,u)$ 有界且可测，函数 $b_i^\alpha(x,\cdot)$ 和 $b^\alpha(x,\cdot)$ 是 $C^1$-光滑的，且 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的有界 Lipschitz 区域。我们既不假设全局解唯一性，也不假设 $b_i^\alpha(x,\cdot)$ 或 $b^\alpha(x,\cdot)$ 的增长限制或 $u_0$ 的更高正则性，并且允许交叉扩散。证明的主要工具是一类隐函数定理型的抽象结果，该结果过去已被应用于奇异性扰动的非线性常微分方程以及椭圆和抛物型偏微分方程，因此允许对奇异性扰动问题和均匀化问题采用存在性、局部唯一性和误差估计的一般方法。