耦合椭圆方程系统中的相分离：渐近分析与几何方面

我们考虑 $k$ 分量系统的正解族 $$-\Delta u_{i,\beta} = f(x, u_{i,\beta}) - \beta u_{i,\beta} \sum_{j \neq i} a_{ij} u_{j,\beta}^2 \qquad \text{in $\Omega$},$$ 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 且 $N \ge 2$。已知 $\{\mathbf{u}_{\beta}\}$ 在 $L^\infty$ 中的一致有界性意味着当竞争参数 $\beta$ 趋于 $+\infty$ 时密度收敛到分离构型。在本文中，我们更仔细地研究该系统解在此奇异极限下的渐近性质：我们建立了不同分量间界面附近密度的精确定量点态估计，并且根据极限系统 $$\Delta U_i = U_i \sum_{j\neq i} a_{ij} U_j^2.$$ 的整体解刻画了 $\mathbf{u}_\beta$ 的渐近轮廓。此外，我们发展了关于 $\beta$ 一致的正则性理论。