奇异扰动椭圆系统的耦合与非耦合变号尖峰

我们研究在$\mathbb{R}^N$中有界域$\Omega$内，具有正分量和变号分量的奇异扰动椭圆方程组解的存在性与渐近行为，其中$N\geq 4$，$\varepsilon>0$，$\mu_i>0$，$\lambda_{ij}=\lambda_{ji}<0$，$\alpha_{ij}, \beta_{ij}>1$，$\alpha_{ij}=\beta_{ji}$，$\alpha_{ij} + \beta_{ij} = p\in (2,2^*)$，且$2^{*}:=\frac{2N}{N-2}$。方程组为\begin{equation*} \begin{cases} -\varepsilon^2\Delta u_i+u_i=\mu_i|u_i|^{p-2}u_i + \sum\limits_{\substack{j=1 \\ j \not=i}}^\ell\lambda_{ij}\beta_{ij}|u_j|^{\alpha_{ij}}|u_i|^{\beta_{ij} -2}u_i,\\ u_i \in H^1_0(\Omega), \quad u_i\neq 0, \qquad i=1,\ldots,\ell, \end{cases} \end{equation*} 若$\Omega$为单位球，我们得到具有预设正与非径向变号分量组合的解，其在$\varepsilon\to 0$时展现出两类不同的渐近行为：一类解的极限轮廓是极限方程组\begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u_i+u_i=\mu_i|u_i|^{p-2}u_i + \sum\limits_{\substack{j=1 \\ j \not=i}}^\ell\lambda_{ij}\beta_{ij}|u_j|^{\alpha_{ij}}|u_i|^{\beta_{ij} -2}u_i,\\ u_i \in H^1(\mathbb{R}^N), \quad u_i\neq 0, \qquad i=1,\ldots,\ell, \end{cases} \end{equation*} 的具有正与非径向变号分量解的重标度；另一类解的极限轮廓是非耦合方程组的解，即经重标度与平移后，第$i$个分量的极限轮廓是方程$$-\Delta u+u=\mu_i|u|^{p-2}u,\qquad u \in H^1(\mathbb{R}^N), \qquad u\neq 0.$$ 的正解或非径向变号解。