具有混合耦合的椭圆系统半节点解的能量估计

我们研究半线性椭圆方程组 $$-\Delta u_i+ u_i = \sum_{j=1}^\ell \beta_{ij}|u_j|^p|u_i|^{p-2}u_i, \qquad u_i\in H^1(\mathbb{R}^N),\qquad i=1,\ldots,\ell,$$ 其中 $N\geq 4$，$1<p<\frac{N}{N-2}$，且矩阵 $(\beta_{ij})$ 对称并允许块分解，使得每一块内的元素为正或零，而所有其他元素为负。我们给出 $(\beta_{ij})$ 上的简单条件，保证完全非平凡解（即所有分量均非平凡的解）的存在性。我们建立具有规定的正与非径向变号分量组合的完全非平凡解的存在性，并在系统至多有两个块时给出其能量的上界。我们导出在单位球内奇异扰动椭圆方程组 $$-\varepsilon^2\Delta u_i+ u_i = \sum_{j=1}^\ell \beta_{ij}|u_j|^p|u_i|^{p-2}u_i, \qquad u_i\in H^1_0(B_1(0)),\qquad i=1,\ldots,\ell,$$ 具有正与非径向变号分量解的存在性，并展现两类不同的渐近行为：当 $\varepsilon\to 0$ 时分量解耦的解，以及分量始终保持耦合直至其极限的解。