具有近临界指数的椭圆组的解

考虑问题 \begin{eqnarray*} -\Delta u_\e &=& v_\e^p \quad v_\e>0\quad {in}\quad \Omega, -\Delta v_\e &=& u_\e^{q_\e}\quad u_\e>0\quad {in}\quad \Omega, u_\e&=&v_\e\:\:=\:\:0 \quad {on}\quad \partial \Omega, \end{eqnarray*} 其中 $\Omega$ 是 $\R^N,$ $N>2,$ 中具有光滑边界 $\partial \Omega$ 的有界凸区域。这里 $p,q_\e>0,$ 且 \begin{equation*} \epsilon:=\frac{N}{p+1}+\frac{N}{q_\e+1}-(N-2). \end{equation*} 该问题对 $\e>0$（其中 $pq_\e>1$）有正解，而对 $\e\leq 0$ 无非平凡解。我们研究当 $\e\to 0^+$ 时\emph{最小能量}解的渐近行为。这些解被证明恰在一点处爆破，并且该点的位置被刻画。此外，给出了爆破的形状与精确速率。