沿薄球壳孔集中的超临界椭圆问题的正解

我们考虑超临界问题 $$-\Delta v=|v|^{p-2}v \text{ in } \Theta_{\epsilon}, \quad v=0 \text{ on } \partial\Theta_{\epsilon},$$ 其中 $\Theta$ 是 $\mathbb{R}^{N}$ 中的有界光滑区域，$N\geq3$，$p>2^{\ast}:=2N/(N-2)$，而 $\Theta_{\epsilon}$ 是通过删除嵌入在 $\Theta$ 中的某个球体的 $\epsilon$-邻域得到的。在某些特定情形下，我们证明：对于足够小的 $\epsilon>0$，该问题存在一个正解 $v_{\epsilon}$，并且当 $\epsilon$ 趋于 0 时，这些解沿球面集中并爆破。我们的方法是通过某种 Hopf 映射将该问题约化为低维穿孔区域 $\Omega_{\epsilon}:=\{x\in\Omega:|x-\xi_{0}|>\epsilon\}$ 中的临界问题 $$-\Delta u=Q(x)|u|^{4/(n-2)}u \text{ in } \Omega_{\epsilon}, \quad u=0 \text{ on } \partial\Omega_{\epsilon},$$ 我们证明：如果 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的有界光滑区域，$n\geq3$，$\xi_{0}\in\Omega$，$Q\in C^{2}(\bar{\Omega})$ 为正且 $\nabla Q(\xi_{0})\neq0$，那么对于足够小的 $\epsilon>0$，该问题存在一个正解 $u_{\epsilon}$，并且当 $\epsilon$ 趋于 0 时，这些解在 $\xi_{0}$ 处集中并爆破。